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Groupe de travail n°3 : Rôle et place de l'arithmétique et de la géométrie dans la formation des élèves et des professeurs
Coordonnateurs :
Hallen Abrougui, Tunisie
Stéphane Cyr, Québec
Alain Bronner, France
Catherine Houdement, France
Correspondant du comité scientifique :Cheikh Mbacke Diop, Mamadou Sangharé, Sénégal.
Appel à contribution
Aucun curriculum mathématique dans les divers pays de l'espace francophone, tant en ce qui concerne les divers secteurs d'enseignement (école, collège, lycée et université) que la formation des enseignants, ne semble échapper à la mise en place de connaissances sur l'arithmétique et sur la géométrie. Les auteurs de programmes sont ainsi confrontés au problème didactique du choix de la nature et de la mise en place d'espaces numériques (Bronner 1997, 2007) et d'espaces pour le travail géométrique (Kuzniak à paraître).
Les traces d'objets fondateurs comme nombre et figure remontent aux premières civilisations et ils ont constitué le premier corpus formalisé sous les traits des Eléments d'Euclide. Que sont devenus ces savoirs fondamentaux à propos des nombres, du calcul et de la géométrie, compte tenu des évolutions sociales et technologiques ? Et quelles connaissances professionnelles pour enseigner ces savoirs fondamentaux ?
Nous proposons dans ce groupe de travail d'ouvrir un questionnement sur la nature, le rôle et la place de l'arithmétique élémentaire (que nous appellerons parfois le numérique) et de la géométrie élémentaire sur toute la période de l'enseignement obligatoire de l'école primaire à l'université en se situant sur plusieurs axes d'étude : légitimité, curriculum et formation des enseignants. Le travail du groupe se développera ainsi selon les axes suivants :
Axe 1 : quelle(s) légitimité(s) pour un enseignement de l'arithmétique et la géométrie ?
Une réflexion sur les savoirs à enseigner est indissociable d'un regard sur les contraintes sociales et temporelles, indissociable des besoins sociaux et des besoins internes aux mathématiques.
Le travail dans cet axe se centrera sur la question des raisons d'être (Chevallard 1999) des savoirs numériques et géométriques dans la société et de la légitimité scientifique et sociale de ces deux domaines.
Le rapport sur la géométrie de la Commission de Réflexion sur l'Enseignement des Mathématiques (Kahane, 2002) ne pose-t-il pas lui-même la question : Faut-il encore enseigner la géométrie au collège et au lycée ?
L'académie des sciences, quant à elle, souligne la place des mathématiques, et notamment des domaines numérique et géométrique, pour l'étude du monde sensible et les liens avec les autres disciplines (Rapport RST 20, 2005)
Se poseront à travers l'enseignement de l'arithmétique et de la géométrie naturellement différentes questions. On veillera à bien séparer les besoins du citoyen ordinaire et ceux du futur mathématicien.
- Quelles connaissances sont nécessaires au futur citoyen, aux différents corps de métiers : des connaissances spatiales pour agir et se déplacer dans tous les espaces (Berthelot Salin 1992) ; des connaissances géométriques pour agir sur les diverses représentations de l'espace ; des connaissances de calcul pratique (calcul mental, calcul algorithmique, versus exact et approché (Kahane, 2002, chapitre sur le Calcul) ; notamment, quelles connaissances compte tenu de 'explosion des instruments technologiques (calculatrices scientifiques ou symboliques, logiciels de géométrie dynamique….) ?
- Le travail sur les savoirs fondamentaux sur les nombres et la géométrie serait-il devenu obsolète au point de favoriser une centration sur les usages instrumentés ? Que deviennent ces savoirs fondamentaux, compte tenu des évolutions sociales et technologiques ?
- Comment participent ces deux domaines à l'acquisition d'une pensée critique fondée sur des connaissances scientifiques (investigation, expérimentation, modélisation, validation…) et la construction d'une pensée rationnelle (GT8, EMF 2006) ?
A l'époque grecque classique dans les textes de Platon, la légitimité de l'arithmétique (théorique) comme celle de la géométrie était acquise, comme les deux facettes de la pensée pure et de l'expérience sensible (Bronner 2007). Mais qu'en est-il aujourd'hui ?
- Quelles sont les prémices mathématiques nécessaires pour la poursuite du curriculum mathématique ? Quelles sont les relations entre ces domaines et les autres parties des mathématiques ?
- Comment ces deux domaines, arithmétique et géométrie élémentaire, doivent ils être revisités, compte tenu des connaissances nécessaires à la fondation des mathématiques contemporaines (statistique, mathématiques discrètes, théorie des graphes..) et au traitement de questions issues d'autres champs disciplinaires (physique, biologie, économie….) ?
Axe 2 : quelles organisations des savoirs arithmétiques et géométriques pour les élèves ?
Il s'agit ici d'interroger plus particulièrement les domaines numériques et géométriques actuels dans les divers secteurs d'enseignement et d'envisager les curricula de demain : quelles propositions pour l'arithmétique et la géométrie ?
Une des questions premières sera de clarifier ce que recouvrent les deux termes arithmétique et géométrie. Selon les périodes, les usages et les pays, arithmétique recouvre une partie plus ou moins vaste du numérique. Quant à la géométrie élémentaire, force est de constater que le mot géométrie ne recouvre pas toujours le même type d'activités ni de raisonnement. Même les figures n'ont pas un statut identique, elles ont même pu disparaître de certaines conceptions de la géométrie (Dieudonné 1964).
Quels sont les paradigmes et les organisations géométriques et numériques à enseigner dans les institutions éducatives actuelles ?
Quels sont les places et rôles des objets fondateurs du géométrique : figures, aires, angles, cas d'isométries des triangles,... ? De même pour l'arithmétique : types de nombres (entier, décimaux, rationnels, ..), opérations, comparateurs, type de pratiques de calcul, (Bronner, 1997, 2007), types de raisonnement?
Du point de vue méthodologique, comment analyser les ressemblances et les différences de ces savoirs d'enseignement ? Quels cadres et outils d'analyse peuvent révéler ces différences ?
Le curriculum constitue un vaste système de conditions et de contraintes (Chevallard, 2002) à partir duquel vont se mettre en place les progressions, les situations et les contrats didactiques.
L'arithmétique et la géométrie ont été très influencées jusqu'à une époque relativement récente par le corpus euclidien, centré sur les deux notions de nombre et de figure, appuyé sur une notion de démonstration et un système d'axiomes. La réforme des mathématiques modernes a bouleversé une grande partie du contenu classique de l'arithmétique et de la géométrie, en introduisant le plus tôt possible l'algèbre linéaire. On pourra ainsi s'appuyer sur des études historiques et curriculaires pour essayer de caractériser les choix des systèmes d'enseignement et comprendre les évolutions.
En dehors d'étude diachronique (évolutions et invariants dans le temps à travers les réformes) les travaux pourront aussi s'intéresser à l'arithmétique et au géométrique selon un point de vue synchronique (étude comparative des programmes de quelques pays de l'espace francophone ou en dehors de cet espace).
À notre connaissance peu d'études de comparaison de curricula d'arithmétique et de géométrie existent entre pays francophones. La rencontre de Dakar pourrait être l'occasion de telles comparaisons.
Axe 3 : quelle formation des enseignants à enseigner l'arithmétique et la géométrie ?
La formation des enseignants est un enjeu fort de chaque société : la qualité scientifique du futur enseignant est un préalable qui fait consensus, mais la maîtrise des savoirs à enseigner ne représente qu'une partie des savoirs nécessaires au futur enseignant.
Quels problèmes professionnels peuvent être identifiés pour l'enseignement de l'arithmétique et de la géométrie ? En quoi sont-ils des problèmes de la profession (Chevallard 2006) ?
Quels sont les écarts entre arithmétique et géométrie à enseigner et le corpus idéal pour le métier d'enseignant ? Quelles connaissances mettre à disposition d'un futur enseignant pour un enseignement respectant l'épistémologie de ces domaines ? Nous pouvons faire ici référence à un questionnement sur les mathématiques pour l'enseignant : " c'est-à-dire ces mathématiques que la profession doit connaître pour permettre à ses membres de s'engager de façon adéquate dans l'acte d'enseignement, vaste domaine dont rien de ce qui est mathématique n'est a priori exclu " (Cirade 2007).
On peut citer par exemple pour l'arithmétique l'énumération (Briand 1993), les systèmes de nombres (Cirade 2007); une conception de la géométrie élémentaire en paradigmes pilotant l'espace de travail géométrique (Houdement & Kuzniak 2006).
Quels autres savoirs didactiques, épistémologiques, de la pratique, participent de la formation du futur professeur dans les domaines de l'arithmétique et de la géométrie élémentaire ?
Quelles sont les démarches de formation (Houdement 95, Houdement & Kuzniak 1996) a priori compatibles avec l'enseignement de l'arithmétique et de la géométrie ?
Nous invitons les participants à proposer une contribution en précisant clairement sur quel axe ils souhaitent intervenir, apporter une réflexion ou présenter des résultats de travaux de recherche en lien avec ces trois axes. Les responsables de ce groupe orienteront le travail et les échanges autour des questions soulevées par les différentes contributions.
Format des contributions et calendrier
Les contributions (times 12, simple interligne) ne devront pas dépasser 12 pages (format A4 avec marges de 2,5 cm), bibliographie et annexes comprises. Elles devront mentionner les noms et les établissements des auteurs, et proposer un résumé de moins de 500 caractères.
Elles devront enfin être envoyées, à la fois en format texte (.doc/.odt) et en format .pdf, avant le 31 août 2008, aux adresses des coordonnateurs du groupe de travail.
Les coordonnateurs du groupe de travail feront savoir avant le 15 décembre 2008 si les communications sont acceptées ou rejetées, et, dans le cas où elles sont acceptées, quelles sont les modifications demandées. Les auteurs des contributions acceptées s'engageront à envoyer leur texte définitif avant le 1er février 2009 et à participer aux travaux de ce groupe de travail lors du colloque EMF.
Adresses
Quelques références bibliographiques
Académie des sciences, Les mathématiques dans le monde scientifique contemporain, RST 20, décembre 2005, Éditions Tec & Doc Lavoisier
Berthelot R., Salin M.H (1992) L'enseignement de l'espace et de la géométrie dans la scolarité obligatoire. Thèse. Université de Bordeaux 1
Briand J. (1993) L'énumération dans le mesurage des collections. Thèse. Université de Bordeaux 1
Bronner, A., (1997). Étude didactique des nombres réels, idécimalité et racine carrée, Thèse de doctorat, Université Joseph Fourier, Grenoble.
Bronner, A., (2007). La question du numérique : Le numérique en questions. Habilitation à Diriger les Recherches, Université Montpellier 2
Campbell S & Zaskis R (2001) Learning and Teaching Number Theory: Research in Cognition and Instruction Ablex
Chevallard, Y. (1999) L'analyse des pratiques enseignantes en théorie anthropologique du didactique, Recherches en Didactique des Mathématiques 19(2). La Pensée Sauvage
Chevallard, Y. (2002) Organiser l'étude. Cours 1 Structures et fonctions et Cours 3. Écologie & régulation. Actes de la 11ème École de Didactique des mathématiques. La Pensée Sauvage, Grenoble
Chevallard, Y. & Cirade G. (2006) Organisation et techniques de formation des enseignants de mathématiques, Actes de la CORFEM
Dieudonné J. (1964) Algèbre linéaire et géométrie élémentaire. Paris : Hermann
Cirade, G. (2006), Devenir professeur de mathématiques : entre problèmes de la profession et formation en IUFM. Les mathématiques comme problème professionnel. Mémoire de thèse en vue d'obtenir le titre de docteur de l'Université de Provence.
Cirade, G. (2007), Les professeurs en formation initiale face au casse-tête des nombres, IIe colloque sur la TAD, Uzès
GT8 (EMF 2006) dirigé par Ourahay M., Hitt F., Houdement C. Développement de la rationalité mathématique au fil de la scolarité. In Bednarz N., Mary C. (dir.) L'enseignement des mathématiques face aux défis de l'école et des communautés. Actes du colloque Espace Mathématique Francophone 2006 (cédérom). Sherbrooke: Éditions du CRP 2007
Houdement C. (1995) Projet de formation des maîtres du premier degré en mathématiques.
Programmation et stratégies. Thèse de l'Université de Paris VII.
Houdement C., Kuzniak A. (1996) Autour des stratégies utilisées pour former les maîtres du
premier degré en mathématiques. Recherches en didactique des mathématiques. 16/3. 289-
322
Houdement C, Kuzniak A, (2006) Paradigmes géométriques et enseignement de la géométrie. Annales de Didactique des mathématiques et des sciences cognitives 11. 175-216
Kahane, J.P., (coord.) (2002). L'Enseignement des Sciences Mathématiques : Commission de Réflexion sur l'enseignement des mathématiques. Paris : Odile Jacob.
Kuzniak A, (à paraître) Sur la nature du travail géométrique dans le cadre de la scolarité obligatoire. Cours à la 14e Ecole de Didactique des mathématiques (août 2007)
Mammana C. & Villani V (eds), (1998), Perspectives on the teaching of Geometry for the 21th Century. An ICMI Study Springer
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